Sottoinsiemi ed Insieme delle Parti

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Dati due insiemi A e B, si dice che B è sottoinsieme di A se ogni elemento di B è anche elemento di A e si indica B ⊆ A –> si legge anche B è contenuto o è incluso in A.

Osservazione

Due insiemi A e B si dicono uguali se sono formati con gli stessi elementi A = B  ovvero ogni elemento dell’uno è anche elemento dell’altro (non ha importanza l’ordine con cui vengono descritti gli insiemi)

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Sottoinsieme Proprio

Si dice che B è un sottoinsieme proprio di A ossia B ⊂ A  se B ⊆ A  e se esiste almeno un elemento di A che non sia elemento di B.
Esempio:  siano A = {a; e; i; o; u} e B = {a; o; u} –> B è un sottoinsieme proprio di A

L’insieme vuoto viene considerato come sottoinsieme di ogni insieme, e fra i sottoinsiemi di A si considera A stesso, per cui ogni insieme non vuoto A possiede due sottoinsiemi: se stesso e l’insieme vuoto, che prendono il nome di sottoinsiemi banali.

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Per evitare contraddizioni logiche considereremo gli insiemi come sottoinsiemi di un insieme detto insieme UNIVERSO “U”, che è un insieme tale da contenere tutti gli insiemi che ci interessano.

Insieme delle Parti

Assegnato un insieme A, consideriamo tutti i sottoinsiemi che si possono formare con gli elementi di A. Chiamiamo insieme delle parti di A e lo indichiamo con P(A) l’insieme i cui elementi sono tutti i sottoinsiemi di A.
Esempio: Dato A = {a; b; c} –> l’inseme delle Parti – P(A)  = {∅; {a}; {b}; {c}; {a;b}; {a;c}; {b;c}; {a;b;c}}
Se l’insieme A è formato da n elementi, l’insieme delle parti P(A) è formato da 2n elementi.

 

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